เรียนคณิตศาสตร์ไปทำไม

เรียนคณิตศาสตร์ไปทำไม ?
ประโยชน์ของการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งทุกคนทราบดีคือ ทำให้บวก ลบ คูณ หาร เป็น ความสามารถนี้ใช้ในชีวิตประจำวันของคนทุกระดับและทุกอาชีพ แต่ยังมีประโยชน์อย่างอื่น ๆ อีก ซึ่งสำคัญ ไม่ยิ่งหย่อนไปกว่าประโยชน์ข้างต้น ประโยชน์เหล่านี้คือ

ข้อแรก เป็นการฝึกให้เป็นคนมีเหตุผล เพราะในการแก้ปัญหานั้นไม่อนุญาตให้นำความเห็นส่วนตัว หรือข้อคิดเห็นอื่นมาใช้เป็นข้ออ้าง ดังนั้น ในการแก้โจทย์ปัญหาจึงต้องยึดข้อมูลที่กำหนดให้เท่านั้นเป็นหลักในการฝึกวิธีการใช้ความคิดพิจารณาเรื่องต่าง ๆ

ข้อสอง ฝึกให้ผู้เรียนสามารถเขียนแสดงวิธีการคิดออกมาเป็นลำดับขั้นตอนที่เข้าใจง่าย และยังฝึก ให้มีการพูดสื่อสารถ่ายทอดแนวคิดของตนเองให้ผู้อื่นเข้าใจได้ง่ายขึ้น

ข้อสุดท้าย เนื่องจากในสังคมจะต้องมีข้อตกลงพื้นฐานหรือกฎหมาย ที่จะช่วยให้คนในสังคม อยู่ร่วมกันอย่างสันติสุข มีความเข้าใจซึ่งกันและกัน จึงทำให้คนในสังคมเรานั้นใช้ระบบและวิธีการทางคณิตศาสตร์หลายประการมาเป็นระบบและวิธีการช่วยให้เข้าใจสังคมได้ดียิ่งขึ้น

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลแบ่งได้ 2 แบบดังนี้
1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (induction)
การให้เหตุผลแบบอุปนัยได้จากการสังเกต ประสบการณ์หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้ง แล้วสรุปผลเป็นข้อความรู้ใหม่ให้เป็นหมวดหมู่ ซึ่งผลสรุปเป็นการคาดคะเนที่อาจเป็นไปได้เท่านั้น แต่ถ้าการสังเกต ประสบการณ์และการทดลองมีความรัดกุม ละเอียด เที่ยงตรงและถูกต้องสมบูรณ์ด้วย นั่นคือถ้าเหตุเป็นจริงหรือถูกต้องผลสรุป ก็จะเป็นสิ่งถูกต้องด้วย การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะพบมากในวิชาวิทยาศาสตร์ เพราะเป็นวิชาเกี่ยวกับการทดลอง คือต้องสังเกต ต้องคิด ต้องทดลองหลาย ๆ ครั้ง แล้วจึงสรุปผล ก่อนจะสรุปต้องมีการตรวจสอบซ้ำแล้วซ้ำอีก เช่น ข้อสรุปที่ว่า สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกัน

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (deduction)
เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป เช่น มนุษย์ทุกคนเป็นสิ่งมีชีวิต และ นายแดงเป็นมนุษย์คนหนึ่ง เพราะฉะนั้น นายแดงจะต้องเป็นสิ่งมีชีวิต ถ้าผลสรุปตามมาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปสมเหตุสมผล แต่ถ้าผลสรุปไม่ได้มาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล

โครงสร้างของคณิตศาสตร์

โครงสร้างของวิชาคณิตศาสตร์ มีส่วนประกอบสำคัญ 4 ประการ คือ

1. อนิยาม (Undefined Terms) หมายถึง คำที่ไม่ต้องให้ความหมายหรือ คำจำกัดความ แต่เมื่อกล่าวถึงต้องมีความเข้าใจตรงกัน เนื่องจากมีความหมายชัดเจนอยู่ในตัวเอง เป็นคำที่ทุกคนเข้าใจตรงกันว่าหมายถึงสิ่งใด โดยอาจจะใช้วิธีการยกตัวอย่างหรือใช้ความเข้าใจด้วยปฏิภาณ ตัวอย่างของอนิยามในคณิตศาสตร์ เช่น จุด เส้นตรง เท่ากัน มากกว่า น้อยกว่า ค่าคงที่ เซต ระนาบ

2. นิยาม (Definition or Defined Terms) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมาย หรือคำจำกัดความไว้ชัดเจน โดยการนำอนิยามมาอธิบายหรือกำหนดคุณลักษณะของสิ่งเหล่านั้น เช่น มุมฉาก หมายถึง มุมที่มีขนาด 90 องศา หรือ คำว่า “ เส้น ” ไปนิยามคำว่าเส้นตรง เส้นขนาน

3. สัจพจน์ ( Axioms) หรือ กติกา (Postulate) หรือ ข้อตกลงเบื้องต้น (Assumption) หมายถึง ข้อความที่ตกลงหรือยอมรับว่าเป็นจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ มักจะแสดงความสัมพันธ์ของนิยามหรืออนิยาม ที่เป็นพื้นฐานมากจนไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ เช่น เส้นขนานย่อมไม่ตัดกันเลย

4. ทฤษฎีบท (Theorems) หมายถึง ผลสรุปที่ได้จากข้อมูลชุดหนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ทุกกรณี การพิสูจน์ทฤษฎีจะใช้วิธีการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ โดยการนำเอานิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่ได้พิสูจน์แล้วไปสนับสนุนให้เป็นเหตุเป็นผล เพื่อแสดงว่าทฤษฎีเป็นจริง ความเป็นจริงในทุกกรณีของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสมเหตุสมผล ไม่ได้หมายถึงข้อเท็จจริง แต่ความสมเหตุ สมผล อาจจะตรงกับข้อเท็จจริงทุกกรณีก็ได้ ขึ้นอยู่กับกติกาที่ใช้เป็นฐานของทฤษฎีนั้น ถ้ากติกาตรงกับข้อเท็จจริง ทฤษฎีที่พิสูจน์โดยใช้กติกานั้นอ้างอิงเป็นเหตุเป็นผลย่อมเป็นจริง ตรงกับข้อเท็จจริงด้วย เช่น เส้นตรง สองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน

ความหมายของคณิตศาสตร์

คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก μάθημα (máthema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคำว่า μαθηματικός (mathematikós) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้"

ในวิชาคณิตศาสตร์จะแบ่งออกเป็น 2 สายใหญ่ๆ ก็คือคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (pure mathematics) กับคณิตศาสตร์ประยุกต์ (applied mathematics) ส่วนที่เป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็จะศึกษาคณิตศาสตร์ในเชิงที่เป็นทฤษฎีหรือนามธรรม อย่างเช่น พีชคณิต เรขาคณิต เป็นต้น อีกสายหนึ่งคือคณิตศาสตร์ประยุกต์มุ่งศึกษาโดยการนำทฤษฎีของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มาประยุกต์ใช้ในสาขาวิชาต่างๆ เช่น แคลคูลัส

คณิตศาสตร์ เป็นวิชาที่มีความจำเป็นในการประกอบอาชีพ เช่น ด้านกสิกรรม อุตสาหกรรม และพาณิชยกรรม ผู้มีอาชีพเป็นสถาปนิก วิศวกรออกแบบ และควบคุมการก่อสร้าง นักวิทยาศาสตร์คิดค้นสิ่งแปลก ใหม่ นักเศรษฐศาสตร์มีความจำเป็นที่จะต้องมีความรู้ ความสามารถ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ หรือตัวเลขต่าง ๆ ในการประกอบกิจกรรมนั้น ๆ

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่เราเผชิญอยู่และต้องการค้นหาคำตอบ โดยที่เรายังไม่รู้วิธีการหรือขั้นตอนที่จะได้คำตอบของสถานการณ์นั้นในทันที
การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง กระบวนการในการประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอน / กระบวนการแก้ปัญหา ยุทธวิธีแก้ปัญหา และประสบการณ์ที่มีอยู่ไปใช้ในการค้นหาคำตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์